我在地球的日子

 

(別把你的鼻子笑歪了,緊接著它還得流點鼻涕配合你感受到傷心落寞的情緒。)

 

 

我在地球的日子

 

 

就整體劇情面,作者很老套地描寫了一個所謂幾億光年外的超智能生物體(外星人),一趟路錢來地球阻止人類在心智成熟之前就放肆地運用突然間發現的科技新知,因為這個理論突破之後,恐怕會因為人類的嗜血性格而對整個太陽系進行屠殺侵略的舉動。然後在解決掉這個秘密泄露於世人之前,必須刪除掉所有的線索跟結束相關人等的生命,但是在主角一邊了解人類行為,一邊執行任務之間,對於自己先進星球的長生不老卻枯燥乏味,地球雖然短暫有病痛生死卻溫情滿人間,有了全新的星際感觸體驗,正巧就是它的主人們所深怕的:「你不要被原始低等物種給感染了!」

 

 

我在地球的日子

 

「黎曼假說」這個學問或許數學科系方面的讀者會比較有所感觸,好像是從零開始的第十五億個質數的出現是有跡可循的,雖然他的說法是讓人存疑,卻總是沒人可以證明這個理論的正確與錯誤,好像大致上是這個樣子。而至於外星人不願這個證實了黎曼假說的大數學家活下來,以及知情人士一併處決的故事,聽起來像是淪為一般科幻故事的恣意妄想,八個頭,十之手,噴個火之後再放幾道閃電消失得無影無蹤?

 

 

我在地球的日子.

 

非也。

 

 

 

 

我在地球的日子

 

這個故事或許比較有電影觀賞經驗,或者小說閱讀經驗的朋友們恐怕早早就可以知道整個故事的大綱要說點什麼樣的劇情,但是在作者使用與他善於觀察人類的這對慧眼共用身體的雙手(有點繞口,但文法並沒有太大的錯誤。),寫下這些在人類這種低智能動物總是用一生的時間在原地打轉的故事,然而這看似白忙一場的打轉過程裡,卻有著許多的情愛與痛苦造成悲劇的發散性演出,而在最後寬容與關懷又把這一團亂的風雨,全收斂成一個完整的結局。

 

 

 

 

我在地球的日子

 

至於你懂不懂黎曼假說是什麼?一點也不是任何的重點,至於你懂不懂人類存在的意義,這本書卻給了你很大的省思,在外星人提到人類落後到連「還有未知的多邊形」的時候,大聲拍案叫絕的手可得省點力氣,最後他可能會拎起幾張面紙,幫你擦拭掉最後三十頁左右讓你感動落淚的天涯流浪與終生追悔得肝腸寸斷。

 

 

我在地球的日子

 

推薦給若是有點家庭相處問題,親子隔閡問題,或者對於生存在這個世界上意義有疑問的讀者。這是一本讓你捧腹大笑也讓你偷偷掉眼淚的好作品。

 

 

 

 

 

它被逐出家門之前,留給了兒子的九十七條重點。

 

 

 

 

我在地球的日子

 

說到底,我什麼時候才能養一隻認得我卻又會幫我保守秘密的狗?那我該把它取名為馬丁了嗎??

 

 

 

 

 

黎曼1859年在他的論文《Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe》中提及了這個著名的猜想,但它並非該論文的中心目的,他也沒有試圖給出證明。黎曼知道ζ函數的不平凡零點對稱地分布在直線s = ½ + it上,以及他知道它所有的不平凡零點一定位於區域0 ≤ Re(s) ≤ 1中。

1896年,雅克·阿達馬Charles Jean de la Vallée-Poussin分別獨立地證明了在直線Re(s) = 1上沒有零點。連同了黎曼對於不非凡零點已經證明了的其他特性,這顯示了所有不平凡零點一定處於區域0 < Re(s) < 1上。這是質數定理第一個完整證明中很關鍵的一步。

1900年,大衛·希爾伯特將黎曼猜想包括在他著名的23條問題中,與哥德巴赫猜想一起組成了希爾伯特名單上的第8號問題。同時黎曼猜想也是希爾伯特問題中唯一一個被收入克雷數學研究所千禧年大獎數學難題的。希爾伯特曾說,如果他在沉睡1000年後醒來,他將問的第一個問題便是:黎曼猜想得到證明了嗎?[1]

1914年,高德菲·哈羅德·哈代證明了有無限個零點在直線Re(s) = ½上。然而仍然有可能有無限個不平凡零點位於其它地方(而且有可能是最主要的零點)。後來哈代與約翰·恩瑟·李特爾伍德在1921年及塞爾伯格在1942年的工作(臨界線定理)也就是計算零點在臨界線Re(s) = ½上的平均密度。

近年來的工作主要集中於清楚的計算大量零點的位置(希望藉此能找到一個反例)以及對處於臨界線以外零點數目的比例置一上界(希望能把上界降至零)

黎曼猜想與質數定理

黎曼猜想傳統的表達式隠藏了這個猜想的真正重要性。黎曼ζ函數質數的分布有著深厚的連結。Helge von Koch在1901年證明了黎曼猜想等價於質數定理一個可觀的強化:給出任何ε > 0,我們有

\left|\pi(x) - \int_0^x \frac{\mathrm{d}t}{\ln(t)}\right| = O(x^{1/2+\varepsilon}),

式中π(x)為質數計數函數,ln(x)為x 的自然對數,以及右手邊用上了大O符號[2]。一個由Lowell Schoenfeld提出的非近似版本,表示黎曼猜想等價於

\left|\pi(x) - \int_0^x \frac{\mathrm{d}t}{\ln(t)}\right| < \frac{1}{8\pi} \sqrt{x} \, \ln(x), \qquad \text{for all } x \ge 2657

黎曼ζ函數的零點與質數滿足一個稱為明確公式的對偶性,這表明了:在調和分析的意義下,黎曼ζ函數的零點可視為質數分布的諧波。

將黎曼ζ函數代為更一般的L-函數,此時仍有相應的猜想:整體L-函數的非平凡零點的實部必等於1/2。這被稱為廣義黎曼猜想函數域上的廣義黎曼猜想已被證明,數域的情形仍懸而未決。

黎曼猜想之結果及其等價命題

黎曼猜想的實際用途包括一些在黎曼猜想成立前提底下能被證明為真的命題,當中有些更被證明了跟黎曼猜想等價。其中一個就是以上素數定理誤差項的增長率。

默比烏斯函數的增長率

其中一個命題牽涉了默比烏斯函數μ。命題「等式

\frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^s}

s的實部大於½的時候成立,而且右邊項的和收斂」就等價於黎曼猜想。由此我們能夠總結出假如Mertens函數的定義為

M(x) = \sum_{n \le x} \mu(n)

那黎曼猜想就等價於對任何\varepsilon > 0都有

M(x) = O(x^{1/2+\varepsilon})

這將會對於M的增長給出了一個更緊的限制,因為即使沒有黎曼猜想我們也能得出

M(x) \ne o(x^\frac{1}{2})

(關於這些符號的意思,見大O符號。)

積性函數增長率

黎曼猜想等價於一些除μ(n)以外一些積性函數增長率的猜想。例如,因數函數σ(n)由下式給出:

\sigma(n) = \sum_{d\mid n} d

那在n > 5040的時候,

\sigma(n) < e^\gamma n \ln \ln n

這名為Robin定理並在1984年以Guy Robin命名。另一個有關的上限在2002年由Jeffrey Lagarias提出,他證明了黎曼猜想等價於命題「對於任意自然數n

 \sigma(n) \le H_n + \ln(H_n)e^{H_n}

H_n為第n調和數H_n := 1 + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{n}

里斯判準與二項式係數和[編輯]

里斯判準由里斯在1916年給出[3],它斷言黎曼猜想等價於下式對所有\epsilon > 0成立

-\sum_{k=1}^\infty \frac{(-x)^k}{(k-1)!\,\zeta(2k)}=O\left(x^{1/4+\epsilon}\right)

哈代稍後於1918年以波萊爾求和法及梅林變換證明了下式的積分表法。

-\sum_{k=1}^\infty \frac{(-x)^k}{(k-1)!\,\zeta(2k)}=f(x)

其它相關的積性函數的增長率也具有與黎曼猜想等價的表述。

考慮二項式係數和

c_k = \sum_{j=0}^k (-1)^j {k \choose j} \frac {1}{\zeta(2j+2)}

Báez-Duarte[4][5]與Flajolet、Brigitte Vallée[6]證明了黎曼猜想等價於對所有的\epsilon > 0下式成立

c_k \ll k^{-3/4+\epsilon}

類似的還有以下級數

d_k = \sum_{j=2}^k (-1)^j {k \choose j} \frac {1}{\zeta(j)}

對此。Flajolet與Vepstas [7]證明了黎曼猜想等價於對所有的\epsilon > 0下式成立

|d_n| < C_\epsilon n^{1/2+\epsilon}

其中的C_\epsilon是依賴於\epsilon的某個常數。

韋伊判準、李判準

韋伊判準斷言某些函數的正定性等價於廣義黎曼猜想。與此相似的還有李判準,這斷言某些數列的正性等價於黎曼猜想。

跟法里數列的關係

另外兩個跟黎曼猜想等價的命題牽涉了法里數列。假如Fn是法里數列中的第n項,由1/n開始而終於1/1,那命題「給出任何e > ½

\sum_{i=1}^m|F_n(i) - i/m| = O(n^e)

」等價於黎曼猜想。在這裏m = \sum_{i=1}^n\phi(i)是法里數列中n階項的數目。類似地等價於黎曼猜想的命題是「給出任何e > −1.

\sum_{i=1}^m(F_n(i) - i/m)^2 = O(n^e)

跟群論的關係

黎曼猜想等價於群論中的一些猜想。舉例說,gn),是對稱群Sn的所有元素的秩之中,最大的一個,也就是蘭道函數,則黎曼猜想等價於:對夠大的n,下式成立:

\ln g(n) < \sqrt{\operatorname{Li}^{-1}(n)}

臨界線定理

黎曼猜想等價於命題「\zeta(s)的導函數\zeta'(s)在區域

0 < \Re(s) < \frac12

上無零點。」 函數ζ在臨界線上只有單零點的充要條件是其導函數在臨界線上非零。所以若黎曼猜想成立,命題中的非零區域可以延伸為0 < \Re(s) \le \frac12。這條進路帶來了一些成果。Norman Levinson將此條件加細,從而得到了較強的臨界線定理

已否證的猜想

一些比黎曼猜想強的猜想曾被提出,但它們有被否證的趨勢。Paul Turan證明了假如級數

\sum_{n=1}^M n^{-s}

s大於1時沒有零點,則黎曼猜想成立,但Hugh Montgomery證明了這前提並不成立。另一個更強的默滕斯猜想也同樣被否證。

相對弱的猜想

Lindelöf猜想

黎曼猜想有各種比較弱的結果;其中一個是關於ζ函數於臨界線上的增長速度的Lindelöf猜想,表明了給出任意的e > 0,當t趨向無限,

\zeta\left(\frac12 + it\right) = O(t^e),

記第n 個素數為pn,一個由Albert Ingham得出的結果顯示,Lindelöf猜想將推導出「給出任意e > 0,對足夠大的n 有

pn+1 - pn < p1/2+e,

不過這個結果比大素數間隙猜想弱,詳如下述。

大質數間隙猜想

另一個猜想是大質數間隙猜想。哈拉爾德·克拉梅爾證明了:假設黎曼猜想成立,質數p 與其後繼者之間的間隙將會為O(\sqrt{p} \ln p)。平均來說,該間隙的階僅為O(\ln p),而根據數值計算結果,它的增長率並不似黎曼猜想所預測的那麼大。

證明黎曼猜想的嘗試

過去的一百多年,有很多數學家聲稱證明了黎曼猜想。截至2007年為止,尚有一些證明還未被驗證;但它們都被數學社群所質疑,多數專家並不相信它們是正確的。艾希特大學的Matthew R. Watkins為這些或是嚴肅或是荒唐的證明編輯了一份列表[8]。其他一些證明可在arXiv資料庫中找到。

黎曼猜想證明的可能的著手方向

由於黎曼猜想是有關2維變量(臨界線(critical line)上的虛數解和黎曼ζ函數中的自然數變量n)的問題,故不但要考慮在2維變量下的情況,似乎還可以從更高維數(例如3或4維甚至更高維)變量的情況下來考慮問題。

另外,由於黎曼猜想從本質上來說是證明一個方程的非平凡的複數解必然是1/2+bi的形式(b是實數,i是虛數單位),因此應該與代數學是密不可分的;就是說,代數幾何代數數論甚至代數拓撲等學科的知識是不可缺少的。如果能從上述幾個分支學科之間找到新的聯繫,以及對這些分支學科有進一步的新發現,那可能可以爲證明黎曼猜想打下基礎,或爲黎曼猜想的證明做好準備。

與運算元理論的可能聯繫

主條目:希爾伯特-波利亞猜想

長久以來,人們猜測黎曼猜想的「正解」是找到一個適當的自伴算符,再由實特徵值的判準導出\zeta(s)零點實部的資訊。在此方向上已有許多工作,卻仍未有決定性的進展。

黎曼ζ函數的統計學性質與隨機矩陣的特徵值有許多相似處。這為希爾伯特-波利亞猜想提供了一些支持。

在1999年,Michael Berry與Jon Keating猜想經典哈密頓函數H=xp有某個未知的量子化\hat{H},使得下式成立

 \zeta (1/2+i\hat H) = 0

更奇特的是,黎曼ζ函數的零點與運算元1/2 + i \hat{H}的譜相同。正則量子化的情形則相反:正則量子化引致海森堡測不準原理[x,p]=1/2,並使量子諧振子的譜為自然數。重點在於,所求的哈密頓算符應當是個閉自伴算符,方能滿足希爾伯特-波利亞猜想之要求。

搜尋ζ函數的零點[編輯]

 
ζ函數的絕對值關於計算上找尋ζ函數零點越多越好的嘗試,已經有一段很長的歷史了。其中一個出名的嘗試乃ZetaGrid,一個分散式計算的計劃,一天可檢查上十億個零點。這計劃在2005年11月終止。直至2006年,沒有計算計劃成功找到黎曼猜想的一個反例。

2004年,Xavier Gourdon與Patrick Demichel透過Odlyzko-Schönhage algorithm驗證了黎曼猜想的頭十兆個非平凡零點。

Michael Rubinstein給了公眾一個算法去算出零點。

 

 

文章標籤

全站熱搜

胡真 發表在 痞客邦 留言(0) 人氣()